Algèbre linéaire Exemples

${[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}]}^{3}$

Étape 1

To evaluate a square matrix to a positive integer power $n$ , multiply $n$ copies of the matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}]$

Étape 2

Multipliez $[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

Étape 2.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 & 1 \cdot - 2 - 2 \cdot - 4 \\ 3 \cdot 1 - 4 \cdot 3 & 3 \cdot - 2 - 4 \cdot - 4 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}]$

Étape 2.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} - 5 & 6 \\ - 9 & 10 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}]$

Étape 3

Multipliez $[\begin{array}{c} - 5 & 6 \\ - 9 & 10 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Étape 3.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} - 5 \cdot 1 + 6 \cdot 3 & - 5 \cdot - 2 + 6 \cdot - 4 \\ - 9 \cdot 1 + 10 \cdot 3 & - 9 \cdot - 2 + 10 \cdot - 4 \end{array}]$

Étape 3.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} 13 & - 14 \\ 21 & - 22 \end{array}]$

Étape 4

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 5

Find the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$13 \cdot - 22 - 21 \cdot - 14$

Étape 5.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Multipliez $13$ par $- 22$ .

$- 286 - 21 \cdot - 14$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 21$ par $- 14$ .

$- 286 + 294$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 286$ et $294$ .

$8$

Étape 6

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 7

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{8} [\begin{array}{c} - 22 & 14 \\ - 21 & 13 \end{array}]$

Étape 8

Multipliez $\frac{1}{8}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{8} \cdot - 22 & \frac{1}{8} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Étape 9

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 (4)} \cdot - 22 & \frac{1}{8} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Étape 9.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 22$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 11) & \frac{1}{8} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Étape 9.1.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 11) & \frac{1}{8} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Étape 9.1.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} \cdot - 11 & \frac{1}{8} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Étape 9.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 11$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 11}{4} & \frac{1}{8} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Étape 9.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{1}{8} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Étape 9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{1}{2 (4)} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Étape 9.4.2

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot 7) \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Étape 9.4.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot 7) \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Étape 9.4.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{1}{4} \cdot 7 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Étape 9.5

Associez $\frac{1}{4}$ et $7$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{7}{4} \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Étape 9.6

Associez $\frac{1}{8}$ et $- 21$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{7}{4} \\ \frac{- 21}{8} & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Étape 9.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{7}{4} \\ - \frac{21}{8} & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Étape 9.8

Associez $\frac{1}{8}$ et $13$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{7}{4} \\ - \frac{21}{8} & \frac{13}{8} \end{array}]$